☆阿慧研究室☆

【出題領域】

二次関数。この問題を完璧に解くために，せめて以下の知識・技能が必要です。

（１）二次関数のグラフとx軸の交点
（２）判別式
（３）二次関数の定義域と値域
（４）二次方程式・二次不等式の解き方

すごく典型的な問題なので，ぜひ身につけておきましょう！
では，問題を解いてから解答を見ましょう。

【解答】

（１）f(x)=0とg(x)=0の解が一致するから以下の２つのことを言える。

1. f(x)とg(x)の交点が２つある
2. f(x)とg(x)の軸は同じである

1.について，f(x)とg(x)を連立して

を得る。整理してxについての二次方程式

が得られる。この二次方程式は２つの解があるから

が成り立つ。よって，aの値の範囲は

を満たす。そして，2.について，f(x)とg(x)の軸それぞれは

であり，等しいから

となる。1.の結果により，aは

であるから，

である。このとき，

となり，f(x)=0は次のようになる。

※解が共通であるから，g(x)で解いてもOKです。ただ，両方とも解く必要はない（←確認時にやればOK）。

（２）g(x)重解をもつから，判別式D＝0となる。すなわち

となる。また，その重解はg(x)のグラフの頂点座標のx座標（軸の方程式）である。このとき，

であり，軸の方程式は

となる。よって，そのときの解は

である。

（３）すべてのxに対して，

が成り立つということは，

である。新しい関数

で考えると，すべてのxに対して値域が０より小さいh(x)を求めることとなる。関数h(x)は

であり，必ずしも二次関数であることは言えないので，場合を分けてやっていく。
h(x)は一次関数である場合：

となり，

であるから，すべてのxに対してh(x)<0を満たす。
h(x)は２次関数である場合：「すべてのxに対してh(x)の値域が０より小さい」ということは

• x軸と交わらない
• 上に凸（あるいは頂点のy座標は0より小さいことで考えても可）

のことである。すなわち，D＜0かつ(1-a)＜０となる。

よって，aの範囲は

となる。h(x)は一次関数である場合とh(x)は二次関数である場合をまとめて，aの値の範囲は

である。

【正解】