※次の解答はただの参考です。必ず自分で探求した後で解答を読むことにしましょう。

【ポイント】

問（１）と問（２）は別々の仮定に基づいた問いなので，ご注意ください。この問題の難点は，たすきがけによる因数分解だと思います！

【出題範囲】

数と式（整数の性質）。この問題を完璧に解くために，せめて以下の知識・技能が必要です。

（１）有理数と無理数の性質
（２）因数分解：たすきがけ
（３）素数になる条件

では，問題を解いてから解答を見ましょう。

【解答】

（１）問題より

を

に代入し

が得られる。有理数と無理数の性質により，Pの値が有理数になるのは

のときであり，そのときのPの値は

である。

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（２）Pを因数分解する。

つまり，Pを因数分解して

を得る。Pの値が素数になるように，

とし，すなわち

になる。
場合１：

のとき，Pは

になる。さらに，

であるから，Pの値が素数になるようなaの最小値は11である。
場合２：

のとき，Pは

になり，Pは正の整数になるために

が必要である。しかし，aも正の整数であるため，上の式を満たすaはない。よって，場合２はこの問題を満たさない。

【正解】

解答部分は自作なので，著作権を放棄しておりません。記事をSNS等へシェアしていただけたらすごく嬉しいですが，内容だけを複写・複製・翻訳することは固くお断りします。皆様のご協力をよろしくお願いいたします。

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